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By Rotman J.J.

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Example text

H. ϕ(v) = 0 fur ¨ alle ϕ ∈ g. 54 2 Auflosbare, ¨ nilpotente und halbeinfache Lie-Algebren 2. Induktion uber ¨ n = dim(V). Induktionsanfang: n = 1: klar. Induktionsannahme: Die Behauptung gelte fur ¨ Dimension n. Induktionsschluss: Es sei dim(V) = n + 1. Nach Teil 1 gibt es ein v ∈ V\{0}, so dass g(v) = {0} gilt. ˜ Es ist dim(W) = n. Da insbesondere ϕ(V) ˜ ⊆ V˜ Setze V˜ := v und W := V/V. gilt fur ¨ alle ϕ ∈ g, gibt es eine induzierte Abbildung ϕ := ϕ|W : W → W. Die Menge g := {ϕ | ϕ ∈ g} ist eine Lie-Unteralgebra von gl(W) und erfullt ¨ die Voraussetzungen des Lemmas.

B. fur ¨ g = sl2 (K)), so ist Spurg = 0, denn Spurg ([X, Y]) = Spur(ad[X,Y] ) = Spur(adX ◦ adY − adY ◦ adX ) = 0. 29 Wir definieren die bilineare Abbildung k : g × g → K durch k(X, Y) := kad (X, Y) = Spur(adX ◦ adY ). k wird Killing-Form von g genannt. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, werden wir gelegentlich kg fur ¨ die KillingForm k der Lie-Algebra g schreiben. 30 Eigenschaften der Killing-Form. 56 2 Auflosbare, ¨ nilpotente und halbeinfache Lie-Algebren 1. k ist eine symmetrische Bilinearform.

Ist Φ : G → H ein Isomorphismus, so ist auch die induzierte Abbildung ϕ : g → h ein Isomorphismus von Lie-Algebren. 4. Sind Φ1 , Φ2 : G → H Homomorphismen von Lie-Gruppen, deren induzierte Abbildungen ϕ1 , ϕ2 : g → h ubereinstimmen, ¨ so stimmen auch Φ1 und Φ2 auf der Identit¨atskomponente G0 von G uberein. 49. 1. Um zu zeigen, dass Φ in allen Punkten A ∈ G differenzierbar ist, mussen ¨ ∞ wir zeigen, dass fur ¨ alle C -Kurven c : J → G mit c(0) = A die Komposition Φ ◦ c wieder eine C∞ -Kurve ist.

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