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By Jörg Bewersdorff

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Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 2002 Biquadratische Gleichungen 25 erfüllt sein muss. Durch beidseitiges Quadrieren erhält man aus dieser Bedingung zunächst 2 q2 (2z-p)(z -r)=- 4 und damit schließlich die kubische Gleichung Hat man für diese so genannte kubische Resolvente eine Lösung z bestimmt, so ergeben sich die Lösungen der ursprünglichen biquadratischen Gleichung aus wobei jede der bei den Vorzeichenvarianten mit Hilfe der bestens vertrauten Lösungsformel für quadratische Gleichung zwei Lösungen liefert.

BnE nw n bm = (1 - Em)b o + bm+,E m+' w m+' + .. + bnEnW n Diese Gleichung erlaubt nun eine Abschätzung für den Betrag If(z ,) I: If(z,)1 :::;(l-E m)l bol +Em+'(lbm+, wm+' I+ ... +Ibnwnl) = Ibol((l- Em(l- EB»), wobei der Quotient B = (lbm+,wm+'1 + ... + Ibnwnl)/Ibol nur von den Koeffizienten bo, bm, ... , bn und der darauf aufbauenden Wahl der Zahl w abhängt. Dabei kann der Wert E> 0 offensichtlich so klein gewählt werden, dass I - EB po itiv ist. Und bei einer solchen Wahl wird zugleich das vermeintlich in zo erreichte Minimum nochmal unterboten: If(z,)I< Ibol = If(Zo)1.

Das heißt, alle Koeffizienten sind symmetrische Polynome in den Variablen XJ. X2, ... Und solche symmetrischen Polynome sind immer aus den elementarsymmetrischen Polynomen, also den Koeffizienten der allgemeinen Gleichung n-ten Grades, mittels Addition, Subtraktion und Multiplikation berechenbar. Konkret besagt der so genannte Hauptsatz über symmetrische Polynome: SATZ. Jedes in den Variablen XJ. X2, ... symmetrische Polynom ist ein Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen. Erstmals formuliert wurde der Satz von Lagrange.

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