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By Gisbert Wüstholz

Dieses Buch ist eine moderne Einf?hrung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann f?r eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die f?r eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Ringtheorie, K?rpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Aufl?sung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einf?hrung in Algebren und Moduln.

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Hier nennt man ein konvexes Polytop ein konvexes Polyeder. J> bezeichnen wir mit E, mit K die Anzahl der Kanten sowie mit F die Anzahl der Flachen. 1 (Eulerscher Polyedersatz) Fur jede Polyeder gilt E-K+F=2. J>. Sie ist eine wichtige topologische Invariante. Der Beweis dieses Satzes ist sehr einfach. Er beruht darauf, dass man die Kanten des Polyeders von einem hinreichend aIlgemein gewahlten Punkt innerhalb des Polyeders auf eine Kugeloberflache projiziert, die das ganze Polyeder umfasst. Die Bilder der Kanten auf der Kugeloberflache bilden einen zusammenhangenden Graphen, dessen Ecken-, Kantenund Flachenzahl mit den entsprechenden GraBen des Polyeders iibereinstimmen.

In der Tat, ist d ein Teiler von (m, n), so teilt d sowohl n als auch m und dann induktiv alle mi, ni, d. h. schlieBlich ne. 1st umgekehrt d ein Teiler von n e , so teilt d rekursiv alle mi, ni und damit auch (m, n). Ebenfalls rekursiv gewinnt man aus dem Algorithmus ganze Zahlen k, 1 derart, dass (n,m) = km + In gilt. Sind insbesondere die Zahlen n und m teilerfremd, so gibt es eine Darstellung 1 = km + In, woraus man sofort schlieBt, dass k das multiplikative Inverse von m modulo n, d. h. in Z/nZ, ist.

Sie ist offensichtlich auflosbar. 2 Die Gruppe r44 Der nachste Fall ist die alternierende Gruppe sA4 • Sie besitzt die Ordnung 12 und daher 2-Sylow-Untergruppen bzw. 3-Sylow-Untergruppen der Ordnung 4 und 3. Hier sieht die Liste der Gruppenelemente wie folgt aus: Ordnung 2: t = (12)(34), u = (13)(24), v = (14)(23); Ordnung 3: w = (123), x = (124), y = (134), z = (234), w 2, x 2, y2, z2. Diese Elemente geniigen der Relation wtw- 1 = v und den sich daraus durch zyklische Vertauschung von t, U und v ergebenden Relationen.

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