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By Heinz-Georg Quebbemann

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Example text

Cn−1 ) ∈ Fnq verwandelt. Das Bild C dieser ”Codierung” heißt ein linearer Code (das kann jeder Untervektorraum des Fnq sein), die Zahl n − k seine Redundanz. Erste Beispiele. 1) Der Parit¨ atscode mit der L¨ange n und Dimension k = n − 1 : er besteht aus n allen c ∈ Fq mit cj = 0 und hat die Codierung γ(a) = (a0 , . . , ak−1 , − k−1 i=0 ai ). Wird genau ein Bit cj verf¨alscht, ist die Definitionsgleichung nicht mehr erf¨ ullt und der Fehler wird erkannt (aber nicht lokalisiert). m −1 2) Der Hamming-Code H(m), m ≥ 2, mit der L¨ange n = qq−1 : Seien Fq v0 , .

2) In Charakteristik p > 0 gilt: tmp − 1 = (tm − 1)p , also Wmp (L) = Wm (L); jede Einheitswurzel ist daher eine n-te Einheitswurzel f¨ ur ein nicht durch p teilbares n. 3) Das Polynom f = tn −1 zerfalle u ¨ber L in Linearfaktoren, wobei n nicht durch die Charakteristik von L teilbar sei. Dann gilt ord Wn (L) = n, denn nach dem Ableitungskriterium ist f separabel. Elemente von Wn (L) mit der Ordnung n heißen primitive n-te Einheitswurzeln. 4) Sei ζ ∈ L eine feste primitive n-te Einheitswurzel (etwa ζ = e2πi/n im Fall L = C).

Zum Beweis des Satzes ist zu zeigen, dass das Minimalpolynom von ζ u ¨ber Q alle ζ k mit ggT(k, n) = 1 als Nullstellen hat. Es gen¨ ugt hierbei, eine Primzahl k = p (die n nicht teilt) zu betrachten. Wir schreiben f = tn − 1 = gh mit g, h ∈ Q[t], wobei g das Minimalpolynom von ζ sei. Aus der Polynom-Arithmetik (Algebra I, Satz von Gauß) ist bekannt, dass g und h in Z[t] liegen. W¨are nun p g(ζ p ) = 0, also h(ζ p ) = 0, so w¨ urde h(tp ) durch g teilbar sein und u ¨ber Fp dann h durch g teilbar.

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